在高維空間中，有多少條線能以相同的角度成對(duì)分開?幾何學(xué)上的突破使人們對(duì)譜圖理論有了新的認(rèn)識(shí)。 等角線是空間中通過一個(gè)點(diǎn)的線，其對(duì)角都是相等的。想象一下二維的正六邊形的三條對(duì)角線，三維的正二十面體的六個(gè)對(duì)頂點(diǎn)的連接線(見圖)。然而，數(shù)學(xué)家們并不把假設(shè)的情況局限于三維空間。

數(shù)學(xué)助理教授趙宇飛說："在高維度上，事情真的變得很有趣，而且可能性似乎是無(wú)限的。但根據(jù)趙和他的麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)，他們并不是無(wú)限的，他們?cè)噲D解決這個(gè)關(guān)于高維空間中線的幾何問題。這是一個(gè)研究人員已經(jīng)困惑了至少70年的問題。他們的突破性研究決定了可以放置的線條的最大可能數(shù)量，以便這些線條以相同的給定角度成對(duì)分開。

Xiaodong Zhao與麻省理工學(xué)院的一組研究人員一起寫了這篇論文，這組研究人員包括本科生Yuan Yao和Shengtong Zhang、博士生Jonathan Tidor和博士后Zilin Jiang。Yao最近開始成為麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)博士生，而江現(xiàn)在是亞利桑那州立大學(xué)的一名教師)。)他們的論文將發(fā)表在2022年1月的《數(shù)學(xué)年鑒》上。

等角線的數(shù)學(xué)可以用圖論進(jìn)行編碼。這篇論文為一個(gè)被稱為譜圖理論的數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供了新的見解，它為研究網(wǎng)絡(luò)提供了數(shù)學(xué)工具。譜圖理論帶來(lái)了計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要算法，如Google用于其搜索引擎的PageRank算法。

這種對(duì)等角線的新理解對(duì)編碼和通信有潛在的影響。等角線是"球形編碼"的例子，它是信息理論中的重要工具，允許不同方面在一個(gè)嘈雜的通信渠道上相互發(fā)送信息，例如美國(guó)國(guó)家航空航天局與其火星車之間發(fā)送的信息。

研究具有給定角度的最大數(shù)量的等角線的問題是在1973年P(guān).W.H. Lemmens和J.J. Seidel的一篇論文中提出的。

普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授諾加-阿隆(Noga Alon)說："這是一個(gè)美麗的結(jié)果，為極端幾何學(xué)中的一個(gè)精心研究的問題提供了一個(gè)令人驚訝的答案，這個(gè)問題從60年代開始就受到了相當(dāng)多的關(guān)注。"

"當(dāng)時(shí)有一些好的想法，但后來(lái)人們被難住了近三十年，"Zhao說。幾年前，包括瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院(ETH)蘇黎世分校數(shù)學(xué)教授Benny Sudakov在內(nèi)的研究團(tuán)隊(duì)取得了一些重要進(jìn)展，當(dāng)時(shí)Sudakov在組合學(xué)研究研討會(huì)上談到了他在等角線方面的工作。

Jiang在卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的前博士生導(dǎo)師Bukh Boris的工作基礎(chǔ)上受到啟發(fā)，開始研究等角線的問題。Jiang和Zhao在2019年夏天組隊(duì)，并邀請(qǐng)Tidor、Yao和Zhang加入。

這項(xiàng)研究得到了Alfred P. Sloan基金會(huì)和國(guó)家科學(xué)基金會(huì)的部分支持。Yao和Zhang通過數(shù)學(xué)系的本科生研究暑期項(xiàng)目(SPUR)參與了這項(xiàng)研究，而Tidor是他們的研究生導(dǎo)師。他們的成果為他們贏得了數(shù)學(xué)系的Hartley Rogers Jr. 最佳SPUR論文獎(jiǎng)。"這是SPUR項(xiàng)目最成功的成果之一，不是每天都有一個(gè)長(zhǎng)期的開放性問題得到解決的。"

解決方案中使用的關(guān)鍵數(shù)學(xué)工具之一被稱為譜圖理論。譜圖理論告訴我們?nèi)绾问褂镁€性代數(shù)的工具來(lái)理解圖和網(wǎng)絡(luò)。圖的"頻譜"是通過將圖變成矩陣并查看其特征值而獲得的。

"這就像你把一束強(qiáng)烈的光照在一個(gè)圖上，然后檢查出來(lái)的顏色的光譜，"Zhao解釋說。"我們發(fā)現(xiàn)，發(fā)射的光譜永遠(yuǎn)不可能過于集中在頂部附近。事實(shí)證明，關(guān)于圖形光譜的這個(gè)基本事實(shí)從未被觀察到。"

這項(xiàng)工作在光譜圖理論中給出了一個(gè)新的定理--有界度的圖必須具有亞線性的第二特征值多重性。該證明需要將圖的頻譜與圖的小片的頻譜聯(lián)系起來(lái)的巧妙見解。

關(guān)鍵詞： MIT 數(shù)學(xué)家 幾何問題 等邊線